En fait, la réponse à votre question, cher P.E., a été amablement donnée par firstorangutan, qui nous a indiqué le site avec les explications cunicioles les plus détaillées! J'en ajoute un autre lien, juste pour compléter le tableau de la recherche.

Un petit commentaire comparatif: si en Français c'est le lapin qui est associé "à la resquille, aux opérations faites en douce ou à la gratuité indue, par défaut de paiement", en Russe ce sera plutot le lièvre: ехать зайцем, aller à la lièvre, par exemple, sans prendre le ticket de tramway.

En ce qui concerne les animaux qu'on peut poser à qqn, je pense aussitot aux cochons: подложить свинью, poser une truie, ce qui voudrait dire, jouer un mauvais tour à cette personne - un équivalent encore plus cocasse en Français serait jeter un chat aux jambes de qqn (ici, il faut imaginer bien le scénario, les comportements respectifs du chat, du jetteur et du bénéficiaire!). Théoriquement, le fait de poser un lapin peut résulter à la position d'une truie, n'est-ce pas? ;)